
\begin{exo}
	Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ des matrices carr{\'e}es d'ordre $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que tr($AB$)=tr($BA$).
		\item En d{\'e}duire que les {\'e}galit{\'e}s $\ AC+DB=I_n \ $ et $\ CA+BD=0_n\ $ sont
			incompatibles.
		\item En d{\'e}duire aussi que la matrice repr{\'e}sentant une application
			lin{\'e}aire $u$ dans une base $B$ a toujours la m{\^e}me trace
			quelque soit la base  $B$ choisie.
	\end{enumerate}
	%-----------
	\begin{correction}

		\begin{enumerate}
			\item tr($AB$)$=\ds{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}=\sum_{j=1}^n
				\sum_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}}=$tr($BA$).
			\item Si $AC+DB=I_n$, tr$(AC+DB)=$tr$(I_n)=n$. Si $CA+BD=0_n$,
				tr$(CA+BD)=$tr$(0_n)=0$. Or tr$(AC+DB)=$tr$(AC)+$tr$(DB)=$tr$(CA)$+tr$(BD)=$tr$(CA+BD)$.
				Les deux \'egalit\'es sont donc incompatibles.
			\item tr($P^{-1}AP$)=tr($APP^{-1}$).
		\end{enumerate}

	\end{correction}
\end{exo}
%=============

